Calculadora de potencias
Eleva una base a cualquier exponente: entero, negativo o decimal. Con bases y exponentes enteros o decimales finitos obtienes el resultado exacto con todas sus cifras, además de la notación científica y el desarrollo de la multiplicación.
Cómo usar la calculadora
Escribe la base y el exponente. Si la base es negativa, escríbela con el signo: la calculadora siempre interpreta (−2)ⁿ. Con exponente entero el resultado es exacto aunque tenga miles de cifras (por ejemplo, 2¹⁰⁰⁰ tiene 302 cifras); con decimales finitos también, como 1,05¹⁰. Con exponentes no enteros el resultado es una aproximación de 12 cifras significativas.
Qué es una potencia
Una potencia aⁿ es una multiplicación repetida: la base a se multiplica por sí misma tantas veces como indica el exponente n.
aⁿ = a × a × … × a (n veces) 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81
La definición se amplía a otros exponentes manteniendo las propiedades: a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1/aⁿ y a^(1/n) = ⁿ√a. Para raíces con índice explícito y simplificación de radicales tienes la calculadora de raíces.
Propiedades de las potencias
| Propiedad | Ejemplo |
|---|---|
| aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 5⁶ ÷ 5⁴ = 5² = 25 |
| (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ | (3²)³ = 3⁶ = 729 |
| (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ | (2 · 5)³ = 8 · 125 = 1.000 |
| (a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ | (2/3)² = 4/9 |
| a⁻ⁿ = 1 / aⁿ | 10⁻² = 1/100 = 0,01 |
| a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) | 27^(2/3) = ∛729 = 9 |
No existe una regla para sumas: (a + b)² = a² + 2ab + b², no a² + b². Con 3 y 4: (3 + 4)² = 49, mientras que 3² + 4² = 25.
Signos y casos especiales
- Base negativa con exponente par → resultado positivo: (−3)² = 9. Con exponente impar → negativo: (−3)³ = −27.
- Base negativa con exponente decimal (como 0,5) no tiene resultado real, porque equivale a una raíz de índice par de un negativo.
- Una base entre 0 y 1 elevada a un exponente positivo da un resultado más pequeño: 0,5³ = 0,125.
- 0ⁿ = 0 si n > 0; 0 con exponente negativo no está definido (sería dividir entre 0).
Potencias de 2 y de 10 más usadas
| n | 2ⁿ | 10ⁿ | Uso habitual |
|---|---|---|---|
| 3 | 8 | 1.000 | 8 bits = 1 byte; prefijo kilo |
| 8 | 256 | 100.000.000 | Valores de un byte (0–255) |
| 10 | 1.024 | 10.000.000.000 | 1 KiB = 1.024 bytes |
| 16 | 65.536 | 10¹⁶ | Enteros de 16 bits |
| 20 | 1.048.576 | 10²⁰ | 1 MiB en bytes |
| 32 | 4.294.967.296 | 10³² | Direcciones IPv4 |
Las potencias de 10 son la base de la notación científica, y su operación inversa es el logaritmo: si 10³ = 1.000, entonces log₁₀ 1.000 = 3 (compruébalo con la calculadora de logaritmos).
Ejemplos prácticos
Crecimiento compuesto
Un capital que crece un 5 % anual se multiplica por 1,05 cada año: en 10 años, por 1,05¹⁰ ≈ 1,6289. Es la base de la fórmula del interés compuesto.
Combinaciones posibles
Un PIN de 4 cifras admite 10⁴ = 10.000 combinaciones; una contraseña de 8 caracteres elegidos entre 62 (letras y números), 62⁸ ≈ 2,18 × 10¹⁴.
Preguntas frecuentes
¿Qué significa un exponente negativo?
Es el inverso de la potencia positiva: a⁻ⁿ = 1 / aⁿ. Por ejemplo, 2⁻³ = 1/8 = 0,125.
¿Cuánto es cualquier número elevado a 0?
1, siempre que la base no sea 0. Se deduce de aⁿ ÷ aⁿ = aⁿ⁻ⁿ = a⁰ = 1. La expresión 0⁰ se considera indeterminada, aunque en muchos contextos se toma por convenio como 1.
¿Qué es un exponente fraccionario?
Una raíz: a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ). Así, 8^(2/3) = ∛(8²) = ∛64 = 4, y 9^0,5 = √9 = 3.
¿Por qué (−2)⁴ y −2⁴ dan resultados distintos?
En (−2)⁴ el signo forma parte de la base: (−2)·(−2)·(−2)·(−2) = 16. En −2⁴ se calcula primero la potencia y luego se cambia el signo: −(2⁴) = −16.
¿Cuánto es 2 elevado a 10?
2¹⁰ = 1.024. Es la base de los múltiplos informáticos: 1 KiB = 1.024 bytes.