Calculadora de ecuaciones de segundo grado
Introduce los coeficientes de ax² + bx + c = 0 y obtén las soluciones con todo el desarrollo: el discriminante, las raíces reales o complejas en forma exacta y decimal, el vértice, la forma factorizada y la gráfica de la parábola.
2x² − 4x − 6 = 0
Cómo usar la calculadora
Pasa primero la ecuación a la forma ax² + bx + c = 0 (todo a un lado, ordenado de mayor a menor grado) y escribe los tres coeficientes con su signo. Si falta un término, su coeficiente es 0; si no aparece número delante de x², el coeficiente es 1. Puedes usar decimales con coma o punto. La gráfica se ajusta sola para mostrar el vértice y los cortes con el eje X.
La fórmula general y el discriminante
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
La expresión dentro de la raíz es el discriminante, Δ = b² − 4ac, y decide el tipo de soluciones antes de calcularlas:
| Discriminante | Soluciones | Gráfica |
|---|---|---|
| Δ > 0 | Dos reales distintas | Corta el eje X en dos puntos |
| Δ = 0 | Una real doble, x = −b/2a | Toca el eje X en el vértice |
| Δ < 0 | Dos complejas conjugadas | No corta el eje X |
Si Δ es un cuadrado perfecto (0, 1, 4, 9, 16…) y los coeficientes son enteros, las soluciones son números racionales y la ecuación se puede factorizar con enteros. Si no, aparecen raíces irracionales que la calculadora deja simplificadas, como (2 ± √10)/3. Para simplificar raíces por tu cuenta usa la calculadora de raíces.
Ejemplos resueltos
Dos soluciones reales: 2x² − 4x − 6 = 0
Δ = (−4)² − 4 · 2 · (−6) = 16 + 48 = 64, y √64 = 8. x = (4 ± 8) / 4, así que x₁ = 3 y x₂ = −1. Forma factorizada: 2(x − 3)(x + 1). El vértice está en x = 1, y = −8.
Solución doble: x² − 6x + 9 = 0
Δ = 36 − 36 = 0. Única solución x = 3; la ecuación es el cuadrado perfecto (x − 3)².
Soluciones complejas: x² + 2x + 5 = 0
Δ = 4 − 20 = −16. Como √−16 = 4i, x = (−2 ± 4i) / 2 = −1 ± 2i. La parábola queda entera por encima del eje X, con el vértice en (−1, 4).
Ecuaciones incompletas
3x² − 12 = 0 (b = 0): x² = 4, x = ±2. 5x² + 10x = 0 (c = 0): 5x(x + 2) = 0, x = 0 o x = −2. Son más rápidas por despeje, pero la fórmula da lo mismo.
Vértice, eje y factorización
- Vértice: xv = −b / 2a, yv = c − b² / 4a. Es el mínimo de la parábola si a > 0 y el máximo si a < 0, lo que sirve para problemas de optimización (área máxima, beneficio máximo).
- Eje de simetría: la recta x = xv. Las dos raíces reales están a la misma distancia de él.
- Forma factorizada: a(x − x₁)(x − x₂).
- Relaciones de Cardano-Vieta: x₁ + x₂ = −b/a y x₁ · x₂ = c/a, útiles para comprobar el resultado o para encontrar una ecuación con raíces dadas.
Errores frecuentes
- Olvidar el signo de b en −b: si b = −4, entonces −b = +4.
- Elevar mal un negativo: b² siempre es positivo; (−4)² = 16, no −16.
- Dividir solo la raíz entre 2a: el denominador afecta a todo el numerador, −b ± √Δ.
- No igualar a 0 antes: en x² = 5x − 6 hay que pasar todo a un lado: x² − 5x + 6 = 0.
Si tienes dos o tres ecuaciones lineales con varias incógnitas, usa la calculadora de sistemas de ecuaciones; para operaciones sueltas con raíces, potencias o trigonometría, la calculadora científica.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula de la ecuación de segundo grado?
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. En algunos países de Latinoamérica se la conoce como fórmula de Bhaskara o «chicharronera».
¿Qué indica el discriminante?
Δ = b² − 4ac. Si es positivo hay dos soluciones reales distintas; si es 0, una solución doble; si es negativo, dos soluciones complejas conjugadas y la parábola no corta el eje X.
¿Cómo se resuelve si falta b o c?
Si c = 0, saca factor común: x(ax + b) = 0, así que x = 0 o x = −b/a. Si b = 0, despeja: x² = −c/a y x = ±√(−c/a). La fórmula general también funciona en ambos casos.
¿Qué pasa si a = 0?
Deja de ser una ecuación de segundo grado: queda bx + c = 0, que es lineal y tiene como solución x = −c/b (si b ≠ 0). La calculadora lo detecta y la resuelve así.
¿Cómo compruebo las soluciones?
Sustituye cada valor en la ecuación y verifica que da 0, o usa las relaciones de Cardano-Vieta: x₁ + x₂ = −b/a y x₁ · x₂ = c/a.