Calculadora de sistemas de ecuaciones
Escribe los coeficientes de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas o de tres con tres, y obtén la solución exacta en fracciones con el desarrollo completo por la regla de Cramer y por el método de Gauss.
| Ec. | x | y | z | = término indep. |
|---|---|---|---|---|
| 1 | ||||
| 2 | ||||
| 3 |
2x + 3y = 8 · x − y = −1
Cómo usar la calculadora
Ordena cada ecuación de la forma ax + by + cz = d: incógnitas a la izquierda en el mismo orden y el número solo a la derecha. Escribe un coeficiente por casilla con su signo; si una incógnita no aparece, su coeficiente es 0, y si aparece sola (como «−y»), es −1. Admite enteros, decimales y fracciones como 1/2. Todas las operaciones se hacen con fracciones exactas, así que el resultado no tiene errores de redondeo.
Regla de Cramer
Para un sistema 2×2 con ecuaciones a₁x + b₁y = c₁ y a₂x + b₂y = c₂:
D = a₁b₂ − a₂b₁ Dx = c₁b₂ − c₂b₁ Dy = a₁c₂ − a₂c₁ x = Dx/D, y = Dy/D
Con el ejemplo cargado (2x + 3y = 8, x − y = −1): D = 2·(−1) − 1·3 = −5; Dx = 8·(−1) − (−1)·3 = −5; Dy = 2·(−1) − 1·8 = −10. Por tanto x = 1, y = 2. En 3×3 los determinantes se calculan con la regla de Sarrus. Si quieres practicar con determinantes y matrices de cualquier tamaño, usa la calculadora de matrices.
Método de Gauss
Se escribe la matriz ampliada (coeficientes y términos independientes) y, con operaciones entre filas, se hacen ceros por debajo de la diagonal. Las operaciones permitidas no cambian las soluciones:
- Intercambiar dos filas (F1 ↔ F2).
- Multiplicar una fila por un número distinto de 0.
- Sumar a una fila un múltiplo de otra (F2 → F2 − 2·F1).
Al final queda un sistema escalonado que se resuelve de abajo arriba (sustitución regresiva). Gauss tiene una ventaja: si el sistema no tiene solución única, lo muestra directamente con una fila 0 = k (incompatible) o 0 = 0 (indeterminado).
Tipos de sistemas
| Tipo | Determinante | Soluciones | Interpretación en 2×2 |
|---|---|---|---|
| Compatible determinado | D ≠ 0 | Una única | Dos rectas que se cortan |
| Compatible indeterminado | D = 0 | Infinitas | La misma recta dos veces |
| Incompatible | D = 0 | Ninguna | Rectas paralelas |
Este criterio es el teorema de Rouché-Frobenius: el sistema es compatible si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada, y determinado si además ese rango es igual al número de incógnitas.
Ejemplo de problema 3×3
Tres productos cuestan en total 6 €; el doble del primero menos el segundo más el tercero da 3 €, y el primero más el doble del segundo menos el tercero, 2 €. El sistema x + y + z = 6, 2x − y + z = 3, x + 2y − z = 2 tiene D = 7 y su solución es x = 1, y = 2, z = 3. Pulsa «3 × 3» para verlo resuelto con los dos métodos.
Otros métodos y consejos
En clase también se usan los métodos de sustitución (despejar una incógnita y sustituirla), igualación (despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar) y reducción (sumar ecuaciones multiplicadas para eliminar una incógnita, que es Gauss en versión 2×2). Todos dan el mismo resultado. Comprueba siempre la solución sustituyéndola en todas las ecuaciones originales.
Si una ecuación tiene x², ya no es lineal: para una sola incógnita usa la calculadora de ecuaciones de segundo grado. Si te aparecen coeficientes fraccionarios y quieres operarlos a mano, apóyate en la calculadora de fracciones.
Preguntas frecuentes
¿Qué es la regla de Cramer?
Un método que expresa cada incógnita como cociente de determinantes: x = Dx / D, donde D es el determinante de los coeficientes y Dx el que resulta al sustituir la columna de x por los términos independientes. Solo se aplica si D ≠ 0.
¿Cuándo un sistema no tiene solución?
Cuando las ecuaciones son contradictorias, como x + y = 2 y x + y = 5. En el método de Gauss aparece una fila del tipo 0 = k con k ≠ 0. Se llama sistema incompatible.
¿Cuándo tiene infinitas soluciones?
Cuando alguna ecuación es combinación de las otras (por ejemplo, la segunda es el doble de la primera). El determinante es 0 y, tras Gauss, queda una fila 0 = 0. Es un sistema compatible indeterminado.
¿Qué método es mejor, Cramer o Gauss?
Para 2×2 y 3×3 ambos son rápidos; Cramer da fórmulas directas y Gauss sirve también cuando el determinante es 0 y para sistemas más grandes, porque necesita muchas menos operaciones.
¿Puedo escribir fracciones como coeficientes?
Sí. Escribe por ejemplo 1/2 o 0,5. La calculadora trabaja con fracciones exactas, así que no acumula errores de redondeo.