Calculadora de función de utilidad y óptimo del consumidor
Elige un tipo de función de utilidad, introduce los precios de los dos bienes y la renta disponible, y la calculadora obtiene la cesta óptima del consumidor, la utilidad alcanzada y el reparto del gasto, con la recta presupuestaria y la curva de indiferencia dibujadas.
U(x, y) = x^a · y^b
Cómo usar la calculadora
- Elige la forma de las preferencias: Cobb-Douglas (lo más habitual en ejercicios), sustitutos perfectos o complementarios perfectos.
- Escribe los parámetros a y b (positivos), los precios de los dos bienes y la renta. Acepta decimales con coma o punto.
- El resultado muestra x*, y*, la utilidad máxima, cuánto se gasta en cada bien y las funciones de demanda. En la gráfica, la línea recta es la restricción presupuestaria; la curva, la curva de indiferencia que pasa por el óptimo.
Todo el cálculo se hace en tu navegador. Si necesitas repasar los conceptos de base, empieza por utilidad marginal y teoría de la utilidad.
El problema del consumidor
El consumidor elige la cantidad de dos bienes, x e y, para maximizar su utilidad sin gastar más de lo que tiene:
máx U(x, y) sujeto a Pₓ·x + Pᵧ·y = M
Cuando la solución es interior (se compra algo de ambos bienes) y las curvas de indiferencia son suaves y convexas, el óptimo cumple que la relación marginal de sustitución iguala el cociente de precios: UMgₓ/UMgᵧ = Pₓ/Pᵧ. Dicho de otro modo, la última unidad monetaria gastada en cada bien aporta la misma utilidad.
Tipos de función de utilidad
Cobb-Douglas: U = xᵃ · yᵇ
Representa bienes que se combinan pero admiten sustitución gradual. Su RMS es (a/b)·(y/x). Igualándola a Pₓ/Pᵧ y usando la restricción presupuestaria, las demandas son:
x* = a/(a+b) · M/Pₓ
y* = b/(a+b) · M/Pᵧ
La propiedad clave: el consumidor gasta en cada bien una fracción fija de su renta, a/(a+b) en x y b/(a+b) en y, sean cuales sean los precios. Con los valores por defecto (a = b = 0,5; Pₓ = 2; Pᵧ = 1; M = 40) gasta 20 en cada bien: x* = 10, y* = 20 y U = √200 ≈ 14,14.
Sustitutos perfectos: U = a·x + b·y
Los bienes son intercambiables a una tasa constante (por ejemplo, dos marcas de agua embotellada). Las curvas de indiferencia son rectas. El consumidor compara la utilidad por unidad monetaria, a/Pₓ frente a b/Pᵧ, y gasta toda la renta en el bien que da más utilidad por euro o peso. Si ambos cocientes son iguales, cualquier combinación de la recta presupuestaria es óptima.
Ejemplo: a = 1, b = 1, Pₓ = 2, Pᵧ = 1, M = 40. Como 1/2 < 1/1, compra solo y: y* = 40, U = 40.
Complementarios perfectos: U = mín(a·x, b·y)
Los bienes se consumen en proporción fija (función de Leontief), como montura y cristales de unas gafas. Comprar más de uno sin el otro no aporta nada. El óptimo está en el vértice de las curvas en forma de L, donde a·x = b·y:
x* = b·M / (b·Pₓ + a·Pᵧ)
y* = a·M / (b·Pₓ + a·Pᵧ)
Ejemplo: café con dos terrones de azúcar por taza (x = tazas, y = terrones) se representa con U = mín(2·x, y), es decir, a = 2 y b = 1. Con Pₓ = 2, Pᵧ = 1 y M = 40: x* = 40/(2 + 2) = 10 tazas e y* = 20 terrones.
Comparación de los tres casos
| Función | Curvas de indiferencia | RMS | Solución típica |
|---|---|---|---|
| Cobb-Douglas | Convexas, nunca tocan los ejes | (a/b)·(y/x), variable | Interior, gasto en proporciones fijas |
| Sustitutos perfectos | Rectas | a/b, constante | De esquina: solo un bien |
| Complementarios perfectos | En forma de L | No definida en el vértice | En el vértice, proporción a·x = b·y |
Cómo interpretar el resultado
- El número U no importa por sí mismo. La utilidad es ordinal: U = x·y y U = √(x·y) dan la misma cesta óptima. Lo explicamos en utilidad ordinal y cardinal.
- Los exponentes de la Cobb-Douglas no necesitan sumar 1. Solo importa su proporción: a = 1, b = 1 da las mismas demandas que a = b = 0,5.
- Prueba a cambiar un precio. En la Cobb-Douglas, si Pₓ se duplica, x* se reduce a la mitad y y* no cambia: la demanda de cada bien solo depende de su propio precio y de la renta.
- Si en sustitutos perfectos cambias un precio, el consumidor puede saltar de golpe de un bien al otro: es la respuesta extrema a los precios relativos.
Cuando hay incertidumbre en lugar de dos bienes, la herramienta adecuada es la utilidad esperada. Y si quieres ver la relación entre utilidad total y marginal de un único bien, usa la calculadora de utilidad total y marginal.
Preguntas frecuentes
¿Qué es una función de utilidad?
Es una fórmula que asigna un número a cada combinación de bienes de modo que las combinaciones preferidas reciben números mayores. Sirve para representar las preferencias de un consumidor y calcular qué cesta elegirá.
¿Cómo se calcula el óptimo con una Cobb-Douglas?
Con U = xᵃ·yᵇ, el consumidor gasta en cada bien una fracción fija de su renta: x* = a/(a+b)·M/Pₓ e y* = b/(a+b)·M/Pᵧ. Por ejemplo, con a = b, gasta la mitad de la renta en cada bien.
¿Qué diferencia hay entre bienes sustitutos y complementarios perfectos?
Los sustitutos perfectos se pueden intercambiar a una tasa fija (U = a·x + b·y) y el consumidor suele comprar solo el más barato en términos relativos. Los complementarios perfectos se consumen en proporción fija (U = mín(a·x, b·y)), como zapatos izquierdos y derechos.
¿Qué es la relación marginal de sustitución?
Es la cantidad de y a la que el consumidor renunciaría por una unidad más de x manteniendo la misma utilidad. Es igual al cociente de utilidades marginales UMgₓ/UMgᵧ y, en el óptimo interior, igual al cociente de precios Pₓ/Pᵧ.
¿El valor de U tiene significado por sí mismo?
No. La utilidad es ordinal: solo importa qué cestas tienen más o menos utilidad. Si multiplicas la función por una constante positiva o le aplicas un logaritmo, las elecciones óptimas no cambian.