Calculadora de combinaciones y permutaciones
Indica cuántos elementos hay (n), cuántos eliges (r), si importa el orden y si se pueden repetir. Obtendrás el número exacto de combinaciones, variaciones o permutaciones con la fórmula aplicada, aunque el resultado tenga cientos de cifras.
Cómo usar la calculadora
Responde a dos preguntas: ¿importa el orden? (¿es distinto ABC que CBA?) y ¿se pueden repetir elementos? Con eso la herramienta elige la fórmula, la muestra con tus números y calcula el resultado exacto con enteros de precisión arbitraria. Debajo verás también los resultados de las otras tres fórmulas, para comparar, y la probabilidad de acertar un caso concreto.
Las cuatro fórmulas de la combinatoria
| Sin repetición | Con repetición | |
|---|---|---|
| Importa el orden | Variaciones (nPr) V(n,r) = n! / (n − r)! | Variaciones con repetición VR(n,r) = nʳ |
| No importa el orden | Combinaciones (nCr) C(n,r) = n! / (r! (n − r)!) | Combinaciones con repetición CR(n,r) = C(n + r − 1, r) |
Cuando eliges todos los elementos (r = n) y el orden importa, las variaciones se llaman permutaciones: P(n) = n!, que puedes calcular con la calculadora factorial. El número C(n, r) también se llama coeficiente binomial y se escribe (n sobre r).
Terminología: en España se distingue entre variaciones (se eligen r de n) y permutaciones (se ordenan todos). En gran parte de Latinoamérica y en inglés ambas se llaman permutaciones, y las variaciones se escriben nPr o P(n, r).
Ejemplos resueltos
Lotería: combinaciones sin repetición
En un sorteo de 6 números entre 49 (como La Primitiva en España) el orden no importa y no se repiten números: C(49, 6) = 49! / (6! · 43!) = 13.983.816 apuestas distintas. En uno de 6 entre 56 (como el Melate en México) hay C(56, 6) = 32.468.436. Para generar apuestas al azar tienes el generador de números de lotería.
Podio: variaciones sin repetición
Ocho finalistas y tres medallas distintas: V(8, 3) = 8 × 7 × 6 = 336 podios posibles.
Contraseñas y PIN: variaciones con repetición
Un PIN de 4 cifras: 10⁴ = 10.000. Una contraseña de 8 caracteres con 62 símbolos posibles (mayúsculas, minúsculas y dígitos): 62⁸ ≈ 2,18 × 10¹⁴. Por eso la longitud pesa más que la variedad de símbolos; puedes crear contraseñas robustas con el generador de contraseñas.
Helados: combinaciones con repetición
Una tarrina de 3 bolas eligiendo entre 5 sabores, pudiendo repetir: CR(5, 3) = C(7, 3) = 35 tarrinas distintas.
Ordenar una fila: permutaciones
Seis personas en fila: 6! = 720 órdenes posibles.
De la combinatoria a la probabilidad
Si todos los casos son igual de probables, la probabilidad de uno concreto es 1 entre el número de casos. Acertar los 6 números de un sorteo 6/49 con una apuesta tiene una probabilidad de 1 / 13.983.816 ≈ 0,0000072 %. Para sucesos compuestos (al menos un acierto, uniones, intersecciones) usa la calculadora de probabilidad.
Errores habituales
- Usar variaciones cuando el orden no importa. Si en un grupo de trabajo no hay cargos, {Ana, Luis} y {Luis, Ana} son el mismo grupo: combinaciones.
- Olvidar la repetición. En una matrícula o un PIN las cifras se repiten; en un sorteo de bolas sin reposición, no.
- Confundir n y r. n es el total disponible; r, cuántos tomas. Sin repetición, r no puede superar a n.
- Simetría: C(n, r) = C(n, n − r). Elegir 6 de 49 es lo mismo que elegir los 43 que se quedan fuera.
Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre combinaciones y permutaciones?
En las combinaciones no importa el orden (elegir 3 frutas de 5); en las permutaciones o variaciones sí importa (repartir oro, plata y bronce entre 5 corredores). Con n = 5 y r = 3 hay 10 combinaciones y 60 variaciones.
¿Cuál es la fórmula de las combinaciones?
C(n, r) = n! / (r! · (n − r)!). Por ejemplo, C(49, 6) = 13.983.816, que es el número de apuestas simples distintas de un sorteo de 6 números entre 49.
¿Qué son las variaciones?
Es el nombre que se usa en España para las ordenaciones de r elementos tomados de n: V(n, r) = n! / (n − r)!. En muchos países de Latinoamérica y en textos en inglés se llaman permutaciones de n en r (nPr).
¿Cuándo hay que usar la fórmula con repetición?
Cuando un mismo elemento puede aparecer varias veces. Un PIN de 4 cifras es una variación con repetición: 10⁴ = 10.000 posibilidades. Elegir 3 bolas de helado entre 5 sabores, pudiendo repetir, son C(5 + 3 − 1, 3) = 35 combinaciones.