Calculadora factorial
Calcula el factorial n! con todas sus cifras exactas (hasta 10.000!, que tiene 35.660 dígitos), su número de dígitos, los ceros en que termina y la notación científica. También calcula el doble factorial n!!.
Cómo usar la calculadora
Escribe un entero n. Hasta n = 10.000 (o 20.000 en el doble factorial) se calcula el resultado exacto con aritmética de enteros de precisión arbitraria; verás todas las cifras en el cuadro inferior, listas para copiar o descargar. Por encima, hasta un millón, la herramienta da el número de cifras, los ceros finales y una aproximación en notación científica. Todo se calcula en tu navegador.
Qué es el factorial
n! = n × (n − 1) × (n − 2) × … × 2 × 1 0! = 1
El factorial cuenta las ordenaciones posibles de n elementos distintos: con 3 libros hay 3! = 6 maneras de colocarlos en una estantería (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA). Por eso aparece en todas las fórmulas de combinatoria; por ejemplo, las combinaciones C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!), que calcula la herramienta de combinaciones y permutaciones.
Tabla de factoriales
| n | n! | n | n! |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 8 | 40.320 |
| 1 | 1 | 9 | 362.880 |
| 2 | 2 | 10 | 3.628.800 |
| 3 | 6 | 12 | 479.001.600 |
| 4 | 24 | 13 | 6.227.020.800 |
| 5 | 120 | 15 | 1.307.674.368.000 |
| 6 | 720 | 20 | 2.432.902.008.176.640.000 |
| 7 | 5.040 | 52 | ≈ 8,0658 × 10⁶⁷ |
52! es el número de formas de barajar una baraja francesa: un número tan grande que, en la práctica, cada mezcla bien hecha produce un orden que casi seguro nunca ha existido antes. Para manejar cantidades así es útil la notación científica.
Por qué crece tan rápido
Cada paso multiplica por un número mayor, así que el factorial crece más deprisa que cualquier potencia: 10! ya supera los 3 millones, 20! los 2 trillones y 70! es mayor que 10¹⁰⁰. Una calculadora normal con números de coma flotante solo llega a 170!; con aritmética exacta no hay ese límite.
Para estimarlo sin calcularlo se usa la fórmula de Stirling:
n! ≈ √(2πn) · (n / e)ⁿ
Su error relativo es aproximadamente 1/(12n): con n = 10 da 3.598.696 frente al valor real 3.628.800 (un 0,8 % menos), y con n = 100 el error baja al 0,08 %.
Ceros al final de n!
Los ceros finales se cuentan con la fórmula de Legendre, sumando cuántos múltiplos de 5, 25, 125… hay hasta n (los factores 2 siempre sobran):
ceros(n!) = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + …
Para 1.000!: 200 + 40 + 8 + 1 = 249 ceros. Es una pregunta clásica de olimpiadas y entrevistas de programación.
Doble factorial y otros usos
El doble factorial n!! multiplica solo los números de la misma paridad: 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105. Aparece en integrales, en estadística y al contar emparejamientos: el número de formas de dividir 2m personas en parejas es (2m − 1)!!; con 6 personas, 5!! = 15.
Otras aplicaciones del factorial: el desarrollo en serie de eˣ = Σ xⁿ/n!, el cálculo de probabilidades en sorteos (puedes practicarlo con la calculadora de probabilidad) y el teorema de Wilson, según el cual p es primo si y solo si (p − 1)! + 1 es divisible entre p; compruébalo con la herramienta de números primos.
Preguntas frecuentes
¿Qué es el factorial de un número?
El producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta ese número: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Indica de cuántas formas se pueden ordenar n objetos distintos.
¿Por qué 0! es igual a 1?
Porque hay exactamente una forma de ordenar cero objetos (no hacer nada) y porque así se cumple n! = n × (n − 1)! también para n = 1: 1! = 1 × 0!, de modo que 0! = 1.
¿Existe el factorial de un número negativo o decimal?
El factorial clásico solo se define para enteros no negativos. Para decimales existe una extensión, la función gamma (Γ(n + 1) = n!), pero no hay factorial de enteros negativos.
¿Cuántos ceros tiene al final 100!?
24. Cada cero procede de un factor 10 = 2 × 5, y hay menos cincos que doses: ⌊100/5⌋ + ⌊100/25⌋ = 20 + 4 = 24.
¿Qué es el doble factorial?
El producto de los números con la misma paridad que n hasta llegar a 1 o 2: 9!! = 9 × 7 × 5 × 3 × 1 = 945 y 8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384. No es lo mismo que (n!)!.