Descomposición en factores primos
Escribe un número entero y obtén su factorización en primos con potencias, la tabla de divisiones sucesivas que se hace en clase y la lista completa de sus divisores.
Cómo usar la herramienta
Escribe un entero positivo (puedes usar puntos de miles). El resultado aparece en forma de potencias, como producto desarrollado y en la clásica tabla de dos columnas: a la izquierda los cocientes, a la derecha el primo que divide. Debajo tienes cuántos divisores tiene el número, su suma y la lista ordenada de todos ellos. El cálculo se hace en tu navegador y admite números de hasta 16 cifras.
Método de las divisiones sucesivas
Se divide el número entre el menor primo posible y se repite con cada cociente hasta obtener 1. Solo hace falta probar primos hasta la raíz cuadrada del cociente que queda: si ninguno lo divide, ese cociente es primo. Así se factoriza 360:
| Cociente | Divisor primo |
|---|---|
| 360 | 2 |
| 180 | 2 |
| 90 | 2 |
| 45 | 3 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2³ · 3² · 5
No importa el orden en que encuentres los factores: el resultado siempre es el mismo. Si dudas de si un cociente es primo, compruébalo con la herramienta de números primos.
Divisores a partir de la factorización
Si n = pa · qb · rc, cada divisor se obtiene eligiendo un exponente entre 0 y a para p, entre 0 y b para q, etc. De ahí salen dos fórmulas:
Número de divisores: (a + 1)(b + 1)(c + 1)
Suma de divisores: (1 + p + … + pᵃ)(1 + q + … + qᵇ)(1 + r + … + rᶜ)
Para 360: (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 divisores, que suman (1 + 2 + 4 + 8)(1 + 3 + 9)(1 + 5) = 15 · 13 · 6 = 1.170. Un número es perfecto si la suma de sus divisores es el doble del número: 28 = 2² · 7 suma (1 + 2 + 4)(1 + 7) = 56.
Ejemplos de factorizaciones
| Número | Factorización | Divisores |
|---|---|---|
| 12 | 2² · 3 | 6 |
| 60 | 2² · 3 · 5 | 12 |
| 100 | 2² · 5² | 9 |
| 144 | 2⁴ · 3² | 15 |
| 1.001 | 7 · 11 · 13 | 8 |
| 1.024 | 2¹⁰ | 11 |
| 2.026 | 2 · 1013 | 4 |
Observa que los números con una cantidad impar de divisores (100, 144, 1.024) son cuadrados perfectos: todos sus exponentes son pares.
Para qué sirve
- MCD y MCM: comunes con menor exponente y todos con mayor exponente. Lo explica paso a paso la calculadora de MCD y MCM.
- Simplificar fracciones: se cancelan los factores comunes de numerador y denominador, como en simplificar fracciones.
- Simplificar raíces: √360 = √(2² · 3² · 2 · 5) = 6√10. La calculadora de raíces lo hace automáticamente.
- Cuadrados y cubos perfectos: un número es cuadrado perfecto si todos sus exponentes son pares y cubo perfecto si son múltiplos de 3.
Límite: factorizar números enormes es muy costoso, y en esa dificultad se apoya la criptografía RSA. Esta herramienta usa divisiones de prueba y llega a 16 cifras; con números grandes que sean producto de dos primos parecidos puede tardar un momento.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se descompone un número en factores primos?
Divide el número entre el menor primo que lo divida (2, 3, 5, 7…) y repite con el cociente hasta llegar a 1. Los divisores usados son los factores: 360 → 180 → 90 → 45 → 15 → 5 → 1 da 360 = 2³ · 3² · 5.
¿Cómo calculo cuántos divisores tiene un número?
Suma 1 a cada exponente de su factorización y multiplica los resultados. Para 360 = 2³ · 3² · 5¹: (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 divisores.
¿La descomposición en primos es única?
Sí, salvo el orden de los factores. Es el teorema fundamental de la aritmética, y por eso el 1 no se considera primo.
¿Para qué sirve factorizar un número?
Para calcular el MCD y el MCM, simplificar fracciones y raíces (√72 = 6√2), saber si un número es cuadrado perfecto y hallar todos sus divisores.