Números primos: comprobador y lista

Cómo usar la herramienta

En el modo ¿Es primo? escribe un entero positivo. Si es compuesto verás su menor divisor primo y la división correspondiente; en ambos casos obtienes el primo anterior y el siguiente y, para números hasta 10 millones, qué posición ocupa en la lista de primos. Con números de más de 12 cifras se usa el test de Miller-Rabin, que es exacto hasta unos 3 × 10²⁴ y extremadamente fiable por encima.

En el modo Lista de primos indica un intervalo (por ejemplo, de 1 a 100) y obtén todos los primos que contiene, su cantidad y su suma. Puedes copiar la lista o descargarla como archivo de texto. El cálculo se hace en tu navegador.

Qué es un número primo

Un número primo es un entero mayor que 1 que solo es divisible entre 1 y entre sí mismo. Los que tienen más divisores se llaman compuestos; el 0 y el 1 no son ni primos ni compuestos. Los primos son los «átomos» de la aritmética: por el teorema fundamental de la aritmética, todo entero mayor que 1 se escribe de forma única como producto de primos, que es lo que hace la descomposición en factores primos.

Cómo comprobar si un número es primo

Basta con probar divisores primos hasta la raíz cuadrada del número: si n = a × b y ambos factores fueran mayores que √n, su producto superaría a n. Ejemplo con 221: √221 ≈ 14,9, así que se prueban 2, 3, 5, 7, 11 y 13. Como 221 ÷ 13 = 17, es compuesto (13 × 17).

Reglas rápidas de divisibilidad que ahorran trabajo:

• Entre 2: la última cifra es par.
• Entre 3: la suma de sus cifras es múltiplo de 3 (471 → 4 + 7 + 1 = 12, compuesto).
• Entre 5: termina en 0 o 5.
• Entre 11: la diferencia entre la suma de las cifras en posición par e impar es múltiplo de 11 (1.331 → (1 + 3) − (3 + 1) = 0).

La criba de Eratóstenes

Para obtener todos los primos hasta N se escribe la lista 2, 3, 4… N y se tachan los múltiplos de cada primo empezando por su cuadrado: primero los de 2 (4, 6, 8…), luego los de 3 (9, 12, 15…), después los de 5 (25, 30…), y así hasta llegar a √N. Lo que queda sin tachar son los primos. Es el algoritmo que usa esta herramienta para las listas, y permite generar los 664.579 primos menores que 10 millones en una fracción de segundo.

Primos menores que 100 y cuántos hay

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

Los primos se van haciendo más escasos: según el teorema de los números primos, cerca de N aproximadamente uno de cada ln(N) números es primo (puedes calcular ln con la calculadora de logaritmos).

Tipos y usos de los primos

• Primos gemelos: parejas que se diferencian en 2, como (11, 13) o (41, 43). No se sabe si hay infinitas.
• Primos de Mersenne: de la forma 2ᵖ − 1, como 7, 31 o 127. Los mayores primos conocidos suelen ser de este tipo; puedes calcular potencias así con la calculadora de potencias.
• Criptografía: sistemas como RSA se basan en que multiplicar dos primos enormes es fácil, pero recuperar los factores a partir del producto es extremadamente difícil.
• Fracciones: dos primos distintos no tienen divisores comunes, así que una fracción como 13/19 ya es irreducible; lo comprueba la herramienta de MCD y MCM.