Simplificar fracciones
Reduce una fracción a su forma irreducible y comprende por qué: la herramienta calcula el máximo común divisor con el algoritmo de Euclides, muestra la factorización en primos y también convierte decimales exactos y periódicos en fracción.
Cómo usar la herramienta
En el modo Simplificar fracción escribe numerador y denominador (enteros, pueden ser negativos). Obtendrás la fracción irreducible, la tabla de divisiones del algoritmo de Euclides, la factorización de ambos números con los factores que se cancelan y el valor decimal.
En el modo Decimal a fracción escribe un decimal exacto (0,375) o periódico, poniendo entre paréntesis la parte que se repite: 0,(3) para 0,333… o 2,1(45) para 2,14545… La herramienta calcula la fracción generatriz y la simplifica.
Cómo se simplifica una fracción
Simplificar es dividir numerador y denominador entre el mismo número. La fracción resultante es equivalente (representa la misma cantidad) pero con términos más pequeños. Se llega a la forma irreducible dividiendo una sola vez entre el máximo común divisor:
a/b = (a ÷ mcd(a, b)) / (b ÷ mcd(a, b))
Método 1: algoritmo de Euclides
Para hallar el MCD se divide el número mayor entre el menor y se sustituye la pareja por (divisor, resto) hasta que el resto sea 0. El último divisor es el MCD. Con 84/126:
| División | Cociente | Resto |
|---|---|---|
| 126 = 1 × 84 + 42 | 1 | 42 |
| 84 = 2 × 42 + 0 | 2 | 0 |
mcd(84, 126) = 42, y 84/126 = (84 ÷ 42)/(126 ÷ 42) = 2/3. Euclides es el método más rápido con números grandes porque no necesita conocer los factores primos.
Método 2: factorización en primos
Se descomponen ambos términos y se tachan los factores comunes: 84 = 2² · 3 · 7 y 126 = 2 · 3² · 7. Comunes: 2 · 3 · 7 = 42. Quedan 2 arriba y 3 abajo. Es el método que se enseña primero en el colegio; puedes practicarlo con la herramienta de descomposición en factores primos.
De decimal a fracción (fracción generatriz)
- Decimal exacto: se escribe sobre la potencia de 10 correspondiente y se simplifica. 0,375 = 375/1000 = 3/8.
- Periódico puro (el periodo empieza tras la coma): 0,(36) = 36/99 = 4/11.
- Periódico mixto: 0,1(6) = (16 − 1)/90 = 15/90 = 1/6. En el denominador van tantos 9 como cifras del periodo, seguidos de tantos 0 como cifras del anteperiodo.
Curiosidad: 0,(9) es exactamente 1. Con la fórmula, 9/9 = 1; no es una aproximación.
Ejemplos
| Fracción | MCD | Irreducible | Decimal |
|---|---|---|---|
| 18/24 | 6 | 3/4 | 0,75 |
| 45/60 | 15 | 3/4 | 0,75 |
| 48/180 | 12 | 4/15 | 0,2(6) |
| 105/165 | 15 | 7/11 | 0,(63) |
| 221/323 | 17 | 13/19 | 0,684… |
| 35/64 | 1 | 35/64 | 0,546875 |
El ejemplo 221/323 muestra la ventaja de Euclides: ni 2, ni 3, ni 5 dividen a ambos, y probar primos a mano hasta llegar al 17 es lento. En cambio, 323 = 1 × 221 + 102; 221 = 2 × 102 + 17; 102 = 6 × 17 + 0, así que el MCD es 17.
Consejos y errores comunes
- Simplificar no cambia el valor: 2/3 y 84/126 ocupan el mismo punto de la recta numérica.
- Solo se simplifican factores, nunca sumandos: en (6 + 3)/6 no puedes «tachar» los 6.
- El signo se coloca en el numerador: 4/−6 se escribe −2/3.
- Un denominador con factores distintos de 2 y 5 produce un decimal periódico, como 4/15 = 0,2(6).
Si además quieres sumar o multiplicar fracciones, usa la calculadora de fracciones; para el MCD y el MCM de varios números a la vez, la de MCD y MCM.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se simplifica una fracción?
Divide el numerador y el denominador entre su máximo común divisor (MCD). En 84/126 el MCD es 42, así que 84/126 = 2/3.
¿Qué es una fracción irreducible?
Aquella cuyo numerador y denominador no tienen ningún divisor común salvo el 1. Toda fracción tiene una única forma irreducible con denominador positivo.
¿Cómo paso un decimal periódico a fracción?
Escribe la parte que se repite entre paréntesis, por ejemplo 0,1(6). La fracción generatriz es (16 − 1) ÷ 90 = 15/90 = 1/6: tantos 9 como cifras tiene el periodo y tantos 0 como cifras no periódicas hay tras la coma.
¿Se puede simplificar dividiendo varias veces?
Sí. Dividir sucesivamente entre 2, 3, 5… llega al mismo resultado, pero dividir directamente entre el MCD lo hace en un solo paso y garantiza que el resultado es irreducible.